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经典的SIR模型是一种发明于上个世纪早期的经典传染病模型，此模型能够较为粗略地展示出一种传染病的发病到结束的过程，其核心在于微分方程，本次我们利用matlab来对此方程进行
其中三个主要量
S是易感人群
I是感染人群
R是恢复人群
这三个量都是跟随时间变化的函数，即可以表示为，其中的t我们设定为一个单位时间，我们即有如下的公式：
然而要列出此种类似的方程我们需要一部分的理想化条件，这些理想化条件是比较重要的，
1.首先即城市的总人数不变，即：
K为一个常数值，一个恒定量。
2.假设 t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数s(t)成正比，设定比例系数为β，从而在t时刻单位时间内被所有病人传染的人数为βs(t)i(t)
3. t 时刻，单位时间内从染病者中移出的人数与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内移出者的数量为γi(t)
故我们可以得知其作用的机制为：易感人数和系数以及感染人数同时作用于总的易感人数，同时恢复人数和恢复系数又对感染人数起到影响。但是同时这又是一个单向性的机制。
基于以上三个条件的假设，我们可以获得其人数变化的机制，也即
1.易感个体的下降率为（注：此处为负数）：
2.感染个体的增长率为：
3.恢复个体的增长率为：
我们利用微分方程可以表示如下：
SIR核心的微分方程
我们对此类方程利用matlab编写SIR函数
其代码为：
sir 函数的matlab code
其中a即为参数，b也为参数，这是可以调整设置的参数，故对于此微分方程的求解，我们利用matlab内建的函数ode45，来进行求解，我们可以参照ode45（）函数的使用范例
进行调用
即[t,x]=ode45(@sir,[0:1:400],[1 116000 0]);
此处的[0:1:400]的为时间的取值范围，这里我们以天为单位，取了0到40等41个点，也即41天。
此处的[1 740000 0]分别为S(t),I(t),R(t)的初始值。
我们利用如下代码：
[t,x]=ode45(@sir,[0:1:180],[1 116000 0]);
>> hold on;
>> plot(t,x(:,1),'o-');
>> plot(t,x(:,2),'*-');
>> plot(t,x(:,3),'d-');
legend('感染人数','易感人数','恢复人数');
title('SIR模型图');
xlabel('天数(days)');
ylabel('总人数');
获得图像如下：
SIR模型图
模型总结：此模型能够较好地模拟一个从传染病的过程，但是前提在于人能够恢复，并且获得终生免疫能力：
SIR模型示意图
由图可知，此模型为单向模型，易感人数在不断地往感染人数输入，而同时最后感染人数也在单向往恢复人数输入，所以易感人数和感染人数最后均会下降到0，而与此同时，所有人均会成为恢复人数，此即为此模型的局限性。
SANGHUSUN
2020.01.27 |
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发表于 2022-12-31 18:01:54