数学建模常用算法——传染病模型（五）SEIR模型

陈家公子

复习一下：

常见的传染病模型按照具体的传染病的特点可分为 SI、SIS、SIR、SIRS、SEIR 模型。其中“S”“E”“I”“R”的现实含义如下：
S (Susceptible)，易感者，指缺乏免疫能力健康人，与感染者接触后容易受到感染；
E (Exposed)，暴露者 ，指接触过感染者但不存在传染性的人，可用于存在潜伏期的传染病；
I (Infectious)，患病者，指有传染性的病人，可以传播给 S，将其变为 E 或 I ；
R (Recovered)，康复者，指病愈后具有免疫力的人，如是终身免疫性传染病，则不可被重新变为 S 、E 或 I ，如果免疫期有限，就可以重新变为 S 类，进而被感染。
SEIR模型

适用于存在易感者、暴露者、患病者和康复者四类人群，有潜伏期、治愈后获得终身免疫的疾病。如带状疱疹。
模型假设
易感者与患病者有效接触即变为暴露者，暴露者经过平均潜伏期后成为患病者，患病者可被治愈成为康复者，康复者终身免疫不再易感。
以一天作为模型的最小时间单元。
总人数为N，不考虑人口的出生与死亡，迁入与迁出，此总人数不变。
t 时刻各类人群占总人数的比率分别记为s(t)、e(t)、i(t)、r(t)，各类人群的数量为S(t)、E(t)、I(t)、R(t)。
初始时刻 t=0 时，各类人数量所占初始比率为s0、e0、i0、r0。
日暴露数 λ ，即每个患病者每天有效接触的易感者的平均人数。
日发病率 δ ，即每天发病成为患病者的暴露者占暴露者总数的比率。
日治愈率 μ ，即每天被治愈的患病者人数占病人总数的比率。
平均治愈天数 1/μ ，又称平均传染期，即从患病到治愈的天数。
传染期接触数 σ=λ/μ ，即每个患病者在整个传染期 1/μ 天内，有效接触的易感者人数。
根据模型假设



模型如图所示

如上图，每个病人每天可使 λ*s(t) 个易感者变为暴露者，且患病者人数为N*i(t)，所以每天有 λ*s(t)*N*i(t) 个易感者变为暴露者。
每天的暴露者 N*e(t) 中，又有 δ*N*e(t) 发病成为患病者。
每天的患病者 N*i(t) 中，又有 μ*N*i(t) 被治愈成为康复者。
可得微分方程：

N*ds(t)/dt=-λ*s(t)*N*i(t)
N*de(t)/dt=λ*s(t)*N*i(t)-δ*N*e(t)
N*di(t)/dt=δ*N*e(t)-μ*N*i(t)
N*dr(t)/dt=μ*N*i(t)

同约N后得：

ds(t)/dt=-λ*s(t)*i(t)
de(t)/dt=λ*s(t)*i(t)-δ*e(t)
di(t)/dt=δ*e(t)-μ*i(t)
dr(t)/dt=μ*i(t)
s(0)=s0
e(0)=e0
i(0)=i0
r(0)=0

可以使用s(t)+e(0)+i(t)+r(t)=1 限制条件将模型降一维，在此就不列了。
此模型无解析解，给定 λ、δ、μ、s0、i0 可求数值解。
总结

以上五种模型只是传染病传播的基本模型，还有很多没有考虑的因素，如人口的出生与死亡，迁入和迁出等。还有可以考虑的更细致的因素，如人群流动速度、易感人群的年龄分布、不同人群对疾病的易感性，患病者的症状轻重，人口密度，医疗卫生程度，检验检疫手段，政府重视程度，人群心理因素等。这些因素都对暴露数、发病率、治愈率、传染期长度有着直接或间接的影响。
大家根据需要自行添加延伸即可，原理相通。
传染病传播模型就先介绍到这里。通过学习这些传染病模型，相信大家对建模的“由简入难”会有更深入的理解。会发现建模就是从简单模型着手，逐渐考虑更多因素的过程。渐渐地你们会喜欢上这种越做越精细、精益而求精的感觉的。

不爱听辣妹子辣的鲁迅种子

请问一下 你的参考论文是啥呢

身后的我

我想引用你写的文章，但是我不知道该怎么引用[流泪]

老叶子

赵小弟

好的好的

朵渔

做出来的模型和实际差超多咋办

火炏焱焱

急要一点代码

大头不大嘴

你好我想问一下 如果考虑迁入迁出的话 模型会有什么改动呢？

路遥马力

考虑迁入迁出的话，SEIR的迁入迁出概率都不同，不是很复杂

新启行起航

可以自己尝试一下的