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传染病的数学模型
近期，国内的疫情闹得沸沸扬扬，很多省市自治区都出现了流感的患者。回想起之前在学校的时候曾经研究过微分方程和动力系统，于是整理一下相关的数学模型，分享给各位读者。笔者并不是研究这个领域的专家，并且这篇文章只是从微分方程角度出发，分析方程的性质，不一定适用于真实环境，而且真实环境比这个也复杂得多。
关于传染病的数学模型，在许多年前数学界早已做过研究，根据传染病的传播速度不同，空间范围各异，传播途径多样，动力学机理等各种因素，对传染病模型按照传染病的类型划分为 SI，SIR，SIRS，SEIR 模型。如果是按照连续时间来划分，那么这些模型基本上可以划分为常微分方程（Ordinary Differential Equation），偏微分方程（Partial Differential Equation）等多种方程模型；如果是基于离散的时间来划分，那么就是所谓的差分方程（Difference Equation）。
在本文中，将会主要介绍常微分方程中的一些传染病数学模型。在介绍方程之前，首先要介绍一些常用的符号：在时间戳 t 上，可以定义以下几种人群：
- 易感者（susceptible）：用符号 S(t) 来表示；
- 感染者（infective）：用符号 I(t) 来表示；
- 康复者（Recoverd）：用符号 R(t) 来表示；
其次，在时间戳 t 上，总人口是 N(t)=S(t)+I(t)+R(t) 。如果暂时不考虑人口增加和死亡的情况，那么 N(t)\equiv N 是一个恒定的常数值。
除此之外，
- r 表示在单位时间内感染者接触到的易感者人数；
- 传染率： \beta 表示感染者接触到易感者之后，易感者得病的概率；
- 康复率：\gamma 表示感染者康复的概率，有可能变成易感者（可再感染），也有可能变成康复者（不再感染）。
在进行下面的分析之前，先讲一个常微分方程的解。
Claim. 假设 x=x(t) 是关于 t 的一个方程，且满足 \frac{dx}{dt} + a_{1}x + a_{2}x^{2}=0 和 x(0)=x_{0} ，那么它的解是： x(t) = \frac{e^{-a_{1}t}}{\frac{1}{x_{0}}-\frac{a_{2}}{a_{1}}(e^{-a_{1}t}-1)} .
Proof. 证明如下：
通过 \frac{dx}{dt}+a_{1}x+a_{2}x^{2}=0 可以得到 -\frac{d}{dt}\bigg(\frac{1}{x}\bigg) + a_{1}\bigg(\frac{1}{x}\bigg)+a_{2}=0 ；令 y = 1/x ，得到 \frac{dy}{dt}-a_{1}y=a_{2} 。所以， \frac{d}{dt}(e^{-a_{1}t}y) = a_{2}e^{-a_{1}t} ，两边积分可以得到 e^{-a_{1}t}y-y_{0}=\bigg(-\frac{a_{2}}{a_{1}}\bigg)(e^{-a_{1}t}-1) ，其中 y_{0}=1/x_{0} 。求解之后得到： x(t) = e^{-a_{1}t}/\bigg(\frac{1}{x_{0}}-\frac{a_{2}}{a_{1}}(e^{-a_{1}t}-1)\bigg) 。
SI 模型（Susceptible-Infective Model）
在 SI 模型里面，只考虑了易感者和感染者，并且感染者不能够恢复，此类病症有 HIV 等；
SI Model
其微分方程就是：
\begin{cases}\frac{dS}{dt} = -\frac{r\beta I}{N} S \\ \frac{dI}{dt}=\frac{r\beta I}{N}S \end{cases}
初始条件就是 S(0)=S_{0} ， I(0) = I_{0} ，并且 S(t)+I(t)=N 对于所有的 t\geq 0 都成立。
于是，把 S = N - I 代入第二个微分方程可以得到： \frac{dI}{dt} - r\beta I + \frac{r\beta}{N}I^{2}=0 。因此根据前面所提到的常微分方程的解可以得到：
I(t) = \frac{NI_{0}}{I_{0}+(N-I_{0})e^{-r\beta t}} .
这个就是所谓的逻辑回归函数，而在机器学习领域，最简单的逻辑回归函数就是 \sigma(x) = 1/(1+e^{-x}) 这个定义。而 I(t) 只是做了一些坐标轴的平移和压缩而已。由于 \lim_{t\rightarrow +\infty}e^{-t}=0，所以， \lim_{t\rightarrow +\infty}I(t) = N ，从而 \lim_{t\rightarrow +\infty}S(t) = 0 。
通过数值模拟可以进一步知道：
SI model 的数值模拟（一）
简单来看，在 SI 模型的假设下，全部人群到最后都会被感染。
SIS 模型（Susceptible-Infectious-Susceptible Model）
除了 HIV 这种比较严重的病之外，还有很多小病是可以恢复并且反复感染的，例如日常的感冒，发烧等。在这种情况下，感染者就有一定的几率重新转化成易感者。如下图所示：
SIS model
其微分方程就是：
\begin{cases} \frac{dS}{dt} = -r \beta S\frac{I}{N} + \gamma I \\ \frac{dI}{dt}=r\beta S \frac{I}{N} - \gamma I \end{cases} ，其初始条件就是 S(0)=S_{0} ， I(0)=I_{0} .
使用同样的方法，把 S=N-I 代入第二个微分方程可以得到： \frac{dI}{dt} - (r\beta - \gamma)I + \frac{r\beta}{N}I^{2}=0 . 通过之前的 Claim 可以得到解为：
I(t) = \frac{N(r\beta-\gamma)}{r\beta}/\bigg(\bigg(\frac{N(r\beta-\gamma)}{I_{0}r\beta}-1\bigg)e^{-(r\beta-\gamma)t}+1\bigg) .
从而可以得到 \lim_{t\rightarrow +\infty} I(t) = N(r\beta - \gamma)/(r\beta) 且 \lim_{t\rightarrow +\infty} S(t) = (N\gamma)/(r\beta) . 这个方程同样也是逻辑回归方程，只是它的渐近线与之前的 SI 模型有所不同。
SIS model 的数值模拟（二）
SIR 模型（Susceptible-Infectious-Recovered Model）
有的时候，感染者在康复了之后，就有了抗体，于是后续就不再会获得此类病症，这种时候，考虑 SIS 模型就不合适了，需要考虑 SIR 模型。此类病症有麻疹，腮腺炎，风疹等。
SIR model
其微分方程是： \begin{cases} \frac{dS}{dt}=-r\beta S \frac{I}{N} \\ \frac{dI}{dt}=r\beta S\frac{I}{N} - \gamma I \\ \frac{dR}{dt}=\gamma I\end{cases} 。其初始条件是 S(0)=S_{0}, I(0)=I_{0}, R(0)=R_{0}， 并且 S(t), I(t), R(t)\geq 0 和 S(t) +I(t)+R(t)=N 对于所有的 t\geq 0 都成立。
对于这类方程，就不能够得到其解析解了，只能够从它的动力系统开始进行分析，得到解的信息。根据第一个微分方程可以得到： \frac{dS}{dt} = -r\beta S\frac{I}{N}<0 ，于是 S(t) 是一个严格递减函数。同时， 0\leq S(t)\leq N 对于所有的 t\geq 0 都成立，于是存在 S_{\infty}\in[0,\infty] 使得 \lim_{t\rightarrow \infty}S(t)=S_{\infty} .
通过第一个微分方程和第二个微分方程可以得到： \frac{d(S+I)}{dt} = -\gamma I ，因此对它两边积分得到 \int_{0}^{T} \frac{d(S+I)}{dt} = -\gamma \int_{0}^{T}I(t)dt . 左侧等于 S(T) + I(T) - S(0) - I(0) ，上界是 4N ，因此令 T\rightarrow \infty 可以得到 \int_{0}^{\infty}I(t) dt\leq 4N/\gamma . 而 I(t)\geq 0 且是连续可微函数，因此 \lim_{t\rightarrow \infty}I(t) = 0 。这意味着所有的感染人群都将康复。
由于 S(t) 是严格单调递减函数，因此从第二个微分方程可以得到：当 S(t) = N\gamma/(r\beta) 时，感染人数 I(t) 达到最大值。
SIR model 的数值模拟（一）
SIR model 的数值模拟（二）
其余模型
在以上的 SI，SIS，SIR 模型中，还可以把死亡因素考虑进去。除此之外，还有 SIRS 模型，SEIR 模型等，在这里就不再做赘述。有兴趣的读者可以参阅相关的参考书籍。
参考文献
- Introduction to SEIR Models, Nakul Chitnis, Workshop on Mathematical Models of Climate Variability, Environmental Change and Infectious Diseases, Trieste, Italy, 2017
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发表于 2022-12-5 14:06:34